数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とし、$S_n = 2a_n - 1$ が成り立つとする。 (1) $a_{n+1} = 2a_n$ であることを示す。 (2) 第 $n$ 項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とし、$S_n = 2a_n - 1$ が成り立つとする。

(1) $a_{n+1} = 2a_n$ であることを示す。

(2) 第 $n$ 項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$S_n = 2a_n - 1$ と $S_{n+1} = 2a_{n+1} - 1$ が与えられている。

ここで、$S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$ であるから、

$S_n + a_{n+1} = 2a_{n+1} - 1$

$2a_n - 1 + a_{n+1} = 2a_{n+1} - 1$

$2a_n = a_{n+1}$

したがって、$a_{n+1} = 2a_n$ が示された。

(2)

$a_{n+1} = 2a_n$ より、数列 $\{a_n\}$ は公比2の等比数列である。

$n=1$ のとき、$S_1 = a_1 = 2a_1 - 1$ より、$a_1 = 1$ である。

よって、数列 $\{a_n\}$ は初項1、公比2の等比数列であるから、

$a_n = 1 \cdot 2^{n-1}$

$a_n = 2^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_{n+1} = 2a_n$

(2) $a_n = 2^{n-1}$