$n$ を 3 以上の自然数、$p$ と $q$ を実数とする。整式 $f(x) = x^n + px + q$ が $x^2 - 3x + 2$ で割り切れるとき、以下の問いに答える。 (1) $p$ と $q$ を $n$ を用いてそれぞれ表す。 (2) $n$ が偶数のとき、方程式 $f(x) = 0$ の異なる実数解の個数は 2 個であることを示す。 (3) $n$ が奇数のとき、方程式 $f(x) = 0$ の区間 $[-4, -2]$ における実数解の個数は 1 個であることを示す。

1. 問題の内容

$n$ を 3 以上の自然数、$p$ と $q$ を実数とする。整式 $f(x) = x^n + px + q$ が $x^2 - 3x + 2$ で割り切れるとき、以下の問いに答える。

(1) $p$ と $q$ を $n$ を用いてそれぞれ表す。

(2) $n$ が偶数のとき、方程式 $f(x) = 0$ の異なる実数解の個数は 2 個であることを示す。

(3) $n$ が奇数のとき、方程式 $f(x) = 0$ の区間 $[-4, -2]$ における実数解の個数は 1 個であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x)$ が $x^2 - 3x + 2$ で割り切れるとき、$f(x)$ は $(x-1)(x-2)$ で割り切れる。

したがって、$f(1) = 0$ かつ $f(2) = 0$ が成り立つ。

$f(1) = 1^n + p(1) + q = 1 + p + q = 0$

$f(2) = 2^n + p(2) + q = 2^n + 2p + q = 0$

これらの連立方程式を解く。

$1 + p + q = 0$ より $q = -p - 1$

$2^n + 2p + q = 0$ に代入して、$2^n + 2p - p - 1 = 0$

$2^n + p - 1 = 0$ より $p = 1 - 2^n$

$q = -p - 1 = -(1 - 2^n) - 1 = -1 + 2^n - 1 = 2^n - 2$

(2)

$n$ が偶数のとき、$f(x) = x^n + (1 - 2^n)x + (2^n - 2) = 0$ の異なる実数解の個数は 2 個であることを示す。

まず、$x=1$ と $x=2$ は解である。

$f'(x) = nx^{n-1} + 1 - 2^n$

$f''(x) = n(n-1)x^{n-2}$

$n$が偶数のとき、$n-2$ も偶数なので、$f''(x) \ge 0$ ($x>0$)

したがって、$f'(x)$ は単調増加。

$f'(1) = n + 1 - 2^n$

$n \ge 3$ のとき、$n < 2^{n-1} < n \cdot 2^{n-1}$ を用いる。

したがって、$2n < 2^n$

$n + 1 < 2^{n-1} + 1$

$n + 1 - 2^n < 1 - 2^{n-1} < 0$ (n>=3)

$f'(1) < 0$

$f'(2) = n \cdot 2^{n-1} + 1 - 2^n > 0$

$f(x)$ は、$x=1$ で $f(x) = 0$、$x=2$ で $f(x) = 0$ となる。

(3)

$n$ が奇数のとき、方程式 $f(x) = 0$ の区間 $[-4, -2]$ における実数解の個数は 1 個であることを示す。

$f(x) = x^n + (1 - 2^n)x + (2^n - 2)$

$f(-4) = (-4)^n + (1 - 2^n)(-4) + (2^n - 2)$

$f(-2) = (-2)^n + (1 - 2^n)(-2) + (2^n - 2)$

$f(-4) = -4^n - 4 + 4 \cdot 2^n + 2^n - 2 = -4^n + 5 \cdot 2^n - 6$

$f(-2) = -2^n - 2 + 2 \cdot 2^n + 2^n - 2 = 2 \cdot 2^n - 4 = 2(2^n - 2)$

$n \ge 3$ なので $f(-2) > 0$

$f(-4) = -4^n + 5 \cdot 2^n - 6$

$n=3$ のとき $f(-4) = -64 + 40 - 6 = -30 < 0$

$n=5$ のとき $f(-4) = -1024 + 160 - 6 = -870 < 0$

$f(-4) = -2^{2n} + 5 \cdot 2^n - 6$

$t = 2^n$ とおくと、

$f(-4) = -t^2 + 5t - 6 = -(t-2)(t-3)$

$f(-4)$ は $t$ が 2 と 3 の間で正となり、それ以外で負となる。

$n \ge 3$ なので $t = 2^n \ge 8 > 3$ よって、$f(-4) < 0$

区間 $[-4, -2]$ で $f(-4) < 0$, $f(-2) > 0$ なので、中間値の定理より実数解が少なくとも 1 つ存在する。

$f'(x) = nx^{n-1} + 1 - 2^n$

$n$ が奇数のとき、$nx^{n-1}$ は偶関数となる。

$f'(x)$ は単調増加または単調減少とは言えないので、別の方法を考える必要がある。

3. 最終的な答え

$p = 1 - 2^n$

$q = 2^n - 2$