直角三角形から扇形を取り除いた図形を、直線λを軸として回転させてできる立体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

直角三角形から扇形を取り除いた図形を、直線λを軸として回転させてできる立体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直角三角形を回転させたときにできる円錐の体積を求めます。

次に、扇形を回転させたときにできる立体の体積を求めます。

最後に、円錐の体積から扇形を回転させた立体の体積を引きます。

- 円錐の体積

底面の半径は6cm、高さは10cmなので、円錐の体積$V_1$は、

$V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6^2) (10) = \frac{1}{3} \pi (36)(10) = 120 \pi$ [cm³]

- 扇形を回転させた立体の体積

扇形を回転させた立体は、半径3cm、高さ6cmの円柱から、半径3cm、高さ3cmの円柱の半分を取り除いたものとなります。

半径3cm、高さ6cmの円柱の体積$V_A$は、

$V_A = \pi r^2 h = \pi (3^2) (6) = \pi (9)(6) = 54 \pi$ [cm³]

半径3cm、高さ3cmの円柱の体積$V_B$は、

$V_B = \pi r^2 h = \pi (3^2) (3) = \pi (9)(3) = 27 \pi$ [cm³]

扇形を回転させた立体の体積$V_2$は、

$V_2 = V_A - \frac{1}{2}V_B = 54 \pi - \frac{1}{2}(27\pi) = 54 \pi - 13.5\pi = 40.5 \pi$ [cm³]

- 求める立体の体積

$V = V_1 - V_2 = 120 \pi - 40.5 \pi = 79.5 \pi$ [cm³]

3. 最終的な答え

$79.5 \pi$ cm³