次の3つの関数を $x$ で微分する問題です。 (1) $y = 2x^2(x^3 + 3x)$ (2) $y = 3\sin x \tan x$ (3) $y = (x^2 + 4x - 1)e^x$

1. 問題の内容

次の3つの関数を $x$ で微分する問題です。

(1) $y = 2x^2(x^3 + 3x)$

(2) $y = 3\sin x \tan x$

(3) $y = (x^2 + 4x - 1)e^x$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2(x^3 + 3x)$ の微分

まず、関数を展開します。

$y = 2x^5 + 6x^3$

次に、各項を微分します。

$\frac{dy}{dx} = 2(5x^4) + 6(3x^2) = 10x^4 + 18x^2$

(2) $y = 3\sin x \tan x$ の微分

積の微分法を使います。

$(\sin x)' = \cos x$

$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = 3(\sin x)' \tan x + 3\sin x (\tan x)' = 3\cos x \tan x + 3\sin x \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = 3\cos x \frac{\sin x}{\cos x} + 3\sin x \frac{1}{\cos^2 x} = 3\sin x + \frac{3\sin x}{\cos^2 x} = 3\sin x(1 + \frac{1}{\cos^2 x}) = 3\sin x(1 + \sec^2 x)$

または

$\frac{dy}{dx} = 3\sin x + \frac{3\sin x}{\cos^2 x} = \frac{3\sin x\cos^2 x + 3\sin x}{\cos^2 x} = \frac{3\sin x(\cos^2 x + 1)}{\cos^2 x}$

(3) $y = (x^2 + 4x - 1)e^x$ の微分

積の微分法を使います。

$(x^2 + 4x - 1)' = 2x + 4$

$(e^x)' = e^x$

$\frac{dy}{dx} = (x^2 + 4x - 1)'e^x + (x^2 + 4x - 1)(e^x)' = (2x + 4)e^x + (x^2 + 4x - 1)e^x$

$\frac{dy}{dx} = (x^2 + 6x + 3)e^x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 10x^4 + 18x^2$

(2) $\frac{dy}{dx} = 3\sin x(1 + \sec^2 x)$ または $\frac{dy}{dx} = \frac{3\sin x(\cos^2 x + 1)}{\cos^2 x}$

(3) $\frac{dy}{dx} = (x^2 + 6x + 3)e^x$