白玉6個、赤玉4個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を調べてから元に戻す。この試行を5回続けて行うとき、以下の確率を求める。 (1) 白玉が4回以上出る確率 (2) 5回目に2度目の白玉が出る確率

1. 問題の内容

白玉6個、赤玉4個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を調べてから元に戻す。この試行を5回続けて行うとき、以下の確率を求める。

(1) 白玉が4回以上出る確率

(2) 5回目に2度目の白玉が出る確率

2. 解き方の手順

(1) 白玉が4回以上出る確率

まず、1回の試行で白玉が出る確率は $6/(6+4) = 6/10 = 3/5$ である。

5回の試行で白玉が4回以上出る確率は、白玉が4回出る確率と白玉が5回出る確率の和である。

白玉が4回出る確率は、二項分布の公式を用いて計算できる。

$P(X=k) = {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n=5$, $p=3/5$, $k=4$ である。

白玉が4回出る確率は、

${}_5 C_4 (3/5)^4 (2/5)^1 = 5 \times (81/625) \times (2/5) = 810/3125$

白玉が5回出る確率は、

${}_5 C_5 (3/5)^5 (2/5)^0 = 1 \times (243/3125) \times 1 = 243/3125$

したがって、白玉が4回以上出る確率は、

$(810/3125) + (243/3125) = 1053/3125$

(2) 5回目に2度目の白玉が出る確率

5回目に2度目の白玉が出るということは、4回目までに白玉が1回出て、5回目に白玉が出るということである。

4回目までに白玉が1回出る確率は、

${}_4 C_1 (3/5)^1 (2/5)^3 = 4 \times (3/5) \times (8/125) = 96/625$

そして、5回目に白玉が出る確率は $3/5$ である。

したがって、5回目に2度目の白玉が出る確率は、

$(96/625) \times (3/5) = 288/3125$

3. 最終的な答え

(1) 白玉が4回以上出る確率は $1053/3125$

(2) 5回目に2度目の白玉が出る確率は $288/3125$