与えられた2つの4x4行列の行列式を計算し、正則行列（行列式が0でない行列）の場合は逆行列も求めます。

1. 問題の内容

与えられた2つの4x4行列の行列式を計算し、正則行列（行列式が0でない行列）の場合は逆行列も求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 7 \end{pmatrix}$ の行列式を求めます。

まず、行基本変形を用いて行列を簡約化します。

2行目から1行目を引く (R2 -> R2 - R1)、3行目から1行目を引く (R3 -> R3 - R1)、4行目から1行目を引く (R4 -> R4 - R1)を実行します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

この行列は上三角行列であるため、行列式は対角成分の積で計算できます。

$\det(A) = 1 \times 1 \times 2 \times 3 = 6$

行列式が0ではないので、Aは正則行列です。

逆行列を求めるには、拡大行列$(A|I)$を作り、行基本変形を行って$(I|A^{-1})$の形にします。ここで、$I$は4x4の単位行列です。

$\left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 5 & 6 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 7 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

簡約化後の行列は次のようになります。

$\left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1/3 \end{array} \right)$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ の行列式を求めます。

4行目から1行目を引く (R4 -> R4 - R1) を実行します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

3行目から1行目を引く (R3 -> R3 - R1) を実行します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

行列式を計算するためには、例えば第3行で余因子展開をします。

$\det(B) = 2 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{33} + 2 \cdot C_{34} = 2 C_{31} + 2 C_{34}$

ここで、$C_{ij}$は$(i,j)$成分の余因子です。

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 3(2-3) = -3$

$C_{34} = (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

よって、$\det(B) = 2(-3) + 2(0) = -6$

行列式が0ではないので、Bは正則行列です。

逆行列を求めるには、拡大行列$(B|I)$を作り、行基本変形を行って$(I|B^{-1})$の形にします。ここで、$I$は4x4の単位行列です。

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & 0 & 0 \\ -1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 行列式: 6, 逆行列: $\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$

(2) 行列式: -6, 逆行列: $\begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & 0 & 0 \\ -1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$