2次方程式 $2x^2 + 3x + m = 0$ が異なる2つの実数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。選択肢は以下の通り。 ① $m > \frac{9}{2}$ ② $m < \frac{9}{2}$ ③ $m > \frac{9}{8}$ ④ $m < \frac{9}{8}$

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 3x + m = 0$ が異なる2つの実数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。選択肢は以下の通り。

① $m > \frac{9}{2}$

② $m < \frac{9}{2}$

③ $m > \frac{9}{8}$

④ $m < \frac{9}{8}$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ である。

与えられた2次方程式 $2x^2 + 3x + m = 0$ において、$a = 2$, $b = 3$, $c = m$ である。

したがって、判別式 $D$ は

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot m = 9 - 8m$

異なる2つの実数解をもつための条件は $D > 0$ なので、

$9 - 8m > 0$

これを $m$ について解くと、

$8m < 9$

$m < \frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

$m < \frac{9}{8}$

選択肢④が正解。