$5.4^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$5.4^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$5.4^n$ の整数部分が3桁であるということは、$100 \le 5.4^n < 1000$ が成り立つということです。

常用対数をとると、

$\log_{10} 100 \le \log_{10} 5.4^n < \log_{10} 1000$

$2 \le n \log_{10} 5.4 < 3$

$2 \le n \log_{10} (27/5) < 3$

$2 \le n (\log_{10} 27 - \log_{10} 5) < 3$

$2 \le n (3 \log_{10} 3 - \log_{10} (10/2)) < 3$

$2 \le n (3 \log_{10} 3 - (1 - \log_{10} 2)) < 3$

与えられた数値を代入すると、

$2 \le n (3 \times 0.4771 - (1 - 0.3010)) < 3$

$2 \le n (1.4313 - 0.6990) < 3$

$2 \le n (0.7323) < 3$

$2 / 0.7323 \le n < 3 / 0.7323$

$2.731 \le n < 4.097$

$n$ は整数なので、$n = 3, 4$ となります。

したがって、$n$ の個数は $4 - 3 + 1 = 2$ 個です。

3. 最終的な答え

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