$\tan \frac{\pi}{8}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan \frac{\pi}{8}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

半角の公式 $\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ を利用する。

$\theta = \frac{\pi}{4}$ とおくと、

$\tan^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{1 + \cos \frac{\pi}{4}}$

$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\tan^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $2 - \sqrt{2}$ を掛けると

$\tan^2 \frac{\pi}{8} = \frac{(2 - \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} = 3 - 2\sqrt{2}$

$\frac{\pi}{8}$ は第一象限の角なので、$\tan \frac{\pi}{8} > 0$ である。したがって、

$\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}-1$