## 問題1

## 問題1

1桁の自然数全体の集合を $U$ とし、$U$ の部分集合 $A, B$ が $A \cap B = \{4, 9\}$, $\overline{A} \cap B = \{6, 7\}$, $\overline{A \cup B} = \{1, 2, 8\}$ を満たすとき、集合 $A$ の要素のうち最小の自然数を求める。

## 解き方の手順

1. まず、集合 $U$ を特定する。$U$ は1桁の自然数全体の集合なので、$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ である。

2. $\overline{A \cup B} = \{1, 2, 8\}$ より、$A \cup B = U - \{1, 2, 8\} = \{3, 4, 5, 6, 7, 9\}$ である。

3. $\overline{A} \cap B = \{6, 7\}$ は、$A$ に含まれない $B$ の要素である。

4. $A \cap B = \{4, 9\}$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素である。

5. $A \cup B = \{3, 4, 5, 6, 7, 9\}$ であることから、$A$ と $B$ の要素を考えると、$B$ は $\{4, 6, 7, 9\}$ を含む必要がある。

6. $A \cup B$ に含まれる要素のうち、$A \cap B$ と $\overline{A} \cap B$ に含まれないものは、$A$ に含まれる可能性がある。

7. $B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B) \cup (B \cap A^c) = \{4,9\}\cup \{6,7\} = \{4,6,7,9\}$

8. $A \cup B = \{3, 4, 5, 6, 7, 9\}$ であり、すでに $B = \{4, 6, 7, 9\}$ であるから、$A$ は少なくとも $\{3, 5\}$ を含まなくてはならない。よって、$A$ は $\{3, 4, 5, 9\}$ を含む必要がある。

$A = (A \cap B) \cup (A \cap B^c) = \{4,9\} \cup (A \cap B^c)$.

また、$A \cup B = \{3, 4, 5, 6, 7, 9\}$ であるから、$A$は$\{3,5\}$ を含む必要がある。

9. したがって、$A = \{3, 4, 5, 9\}$ である。

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0. 集合 $A$ の要素のうち最小の自然数は $3$ である。

## 最終的な答え

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