与えられた数式の値を求めます。数式は次の通りです。 $(\sin 36^\circ + \sqrt{2} \sin 54^\circ)^2 + (\sqrt{2} \cos 54^\circ - \cos 36^\circ)^2$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求めます。数式は次の通りです。

$(\sin 36^\circ + \sqrt{2} \sin 54^\circ)^2 + (\sqrt{2} \cos 54^\circ - \cos 36^\circ)^2$

2. 解き方の手順

三角関数の性質を利用して計算を簡単化します。

まず、$\sin(90^\circ - x) = \cos x$ と $\cos(90^\circ - x) = \sin x$ の関係を利用して、$\sin 54^\circ$ と $\cos 54^\circ$ を変形します。

$\sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ$

$\cos 54^\circ = \cos(90^\circ - 36^\circ) = \sin 36^\circ$

上記の変換を元の式に代入します。

$(\sin 36^\circ + \sqrt{2} \cos 36^\circ)^2 + (\sqrt{2} \sin 36^\circ - \cos 36^\circ)^2$

この式を展開します。

$(\sin^2 36^\circ + 2\sqrt{2} \sin 36^\circ \cos 36^\circ + 2 \cos^2 36^\circ) + (2 \sin^2 36^\circ - 2\sqrt{2} \sin 36^\circ \cos 36^\circ + \cos^2 36^\circ)$

式を整理します。

$\sin^2 36^\circ + 2\sqrt{2} \sin 36^\circ \cos 36^\circ + 2 \cos^2 36^\circ + 2 \sin^2 36^\circ - 2\sqrt{2} \sin 36^\circ \cos 36^\circ + \cos^2 36^\circ$

$= 3 \sin^2 36^\circ + 3 \cos^2 36^\circ$

$= 3 (\sin^2 36^\circ + \cos^2 36^\circ)$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$の関係より、

$3 (\sin^2 36^\circ + \cos^2 36^\circ) = 3(1) = 3$

3. 最終的な答え

3