実数 $a, b, x, y$ に対して、次の不等式（シュワルツの不等式）を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。 $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \geq (ax + by)^2$

1. 問題の内容

実数 $a, b, x, y$ に対して、次の不等式（シュワルツの不等式）を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \geq (ax + by)^2$

2. 解き方の手順

不等式の両辺の差を計算し、それが0以上であることを示す。

$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) - (ax + by)^2 = a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2 - (a^2x^2 + 2axby + b^2y^2)$

$= a^2y^2 + b^2x^2 - 2axby$

$= (ay - bx)^2$

$(ay - bx)^2 \geq 0$ であるから、

$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) - (ax + by)^2 \geq 0$

よって、$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \geq (ax + by)^2$

等号が成り立つのは、$(ay - bx)^2 = 0$ のとき、つまり $ay = bx$ のときである。

$a, b$ がともに0でないとき、$x/a = y/b$。

$a = b = 0$のとき、$ax + by = 0$ ならば等号は常に成り立つ。

ただし、$x, y$ は任意の実数。

3. 最終的な答え

$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \geq (ax + by)^2$ が成り立つ。

等号成立は $ay = bx$ のとき、すなわち $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$（$a, b$がともに0でないとき）。

$a=b=0$のとき、$ax + by = 0$ ならば等号は常に成り立つ。