定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 4ax$ の $0 \le x \le 2$ における最小値を求める。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 4ax$ の $0 \le x \le 2$ における最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4ax = (x - 2a)^2 - (2a)^2 = (x - 2a)^2 - 4a^2$

これは、軸が $x = 2a$ である下に凸の放物線です。定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値を求めます。

軸の位置によって場合分けが必要です。

(1) $2a < 0$ すなわち $a < 0$ のとき

最小値は $x = 0$ でとるので、$y = 0^2 - 4a(0) = 0$

(2) $0 \le 2a \le 2$ すなわち $0 \le a \le 1$ のとき

最小値は $x = 2a$ でとるので、$y = (2a)^2 - 4a(2a) = 4a^2 - 8a^2 = -4a^2$

(3) $2 < 2a$ すなわち $1 < a$ のとき

最小値は $x = 2$ でとるので、$y = 2^2 - 4a(2) = 4 - 8a$

3. 最終的な答え

したがって、最小値は

$a < 0$ のとき、$0$

$0 \le a \le 1$ のとき、$-4a^2$

$1 < a$ のとき、$4 - 8a$