$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x + y = 4$ のとき、$x^2 + 2y^2$ の最大値と最小値、およびそのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x + y = 4$ のとき、$x^2 + 2y^2$ の最大値と最小値、およびそのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x+y=4$ より $y = 4 - x$ である。

$x \ge 0$ および $y \ge 0$ であるから、$4 - x \ge 0$。よって、$0 \le x \le 4$ である。

$x^2 + 2y^2$ に $y = 4 - x$ を代入すると、

\begin{align*}

x^2 + 2y^2 &= x^2 + 2(4 - x)^2 \\

&= x^2 + 2(16 - 8x + x^2) \\

&= x^2 + 32 - 16x + 2x^2 \\

&= 3x^2 - 16x + 32

\end{align*}

$f(x) = 3x^2 - 16x + 32$ とおく。

$f(x)$ を平方完成すると、

\begin{align*}

f(x) &= 3\left(x^2 - \frac{16}{3}x\right) + 32 \\

&= 3\left[\left(x - \frac{8}{3}\right)^2 - \left(\frac{8}{3}\right)^2\right] + 32 \\

&= 3\left(x - \frac{8}{3}\right)^2 - 3 \cdot \frac{64}{9} + 32 \\

&= 3\left(x - \frac{8}{3}\right)^2 - \frac{64}{3} + \frac{96}{3} \\

&= 3\left(x - \frac{8}{3}\right)^2 + \frac{32}{3}

\end{align*}

$0 \le x \le 4$ の範囲で、$f(x)$ の最大値と最小値を求める。

$f(x)$ は、$x = \frac{8}{3}$ で最小値 $\frac{32}{3}$ をとる。

$f(0) = 3(0)^2 - 16(0) + 32 = 32$

$f(4) = 3(4)^2 - 16(4) + 32 = 48 - 64 + 32 = 16$

したがって、最大値は $f(0) = 32$ で、$x = 0$ のとき、$y = 4 - 0 = 4$

最小値は $f(\frac{8}{3}) = \frac{32}{3}$ で、$x = \frac{8}{3}$ のとき、$y = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

最大値は $32$ ($x = 0, y = 4$ のとき)

最小値は $\frac{32}{3}$ ($x = \frac{8}{3}, y = \frac{4}{3}$ のとき)