$a > 0$ のとき、$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}} = a$ が成り立つように、空欄に当てはまる数を求めます。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}} = a$ が成り立つように、空欄に当てはまる数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{a}$を$a$の指数で表します。$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$です。

次に、$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}}$を$a$の指数で表します。$\sqrt{a \times a^{\frac{1}{3}}} = (a \times a^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}$です。

指数の法則を用いて、式を簡略化します。

$(a \times a^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (a^{1 + \frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{3} \times \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3}}$

したがって、$a^{\frac{2}{3}} = a$となる条件を考えます。

$a^{\frac{2}{3}} = a^1$なので、指数を比較すると、$\frac{2}{3} = 1$となります。

しかし、これは成立しません。問題に誤りがあるか、あるいは、問題文の$\sqrt{}$は全体にかかっているのではなく、最初の$a$だけにかかっている可能性があります。

もし、$\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a} = a$であれば、$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$、$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$ なので、$a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}} = a^1$となります。

このとき、$\frac{5}{6} = 1$となりますが、これも成立しません。

再度、問題文を確認した結果、問題文に誤植があることがわかりました。正しくは、$\sqrt{a\sqrt[3]{a}} = a$です。

この場合、$\sqrt{a\sqrt[3]{a}} = \sqrt{aa^{\frac{1}{3}}} = \sqrt{a^{\frac{4}{3}}} = a^{\frac{4}{3} \times \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3}} = a^1$となります。

従って、$\frac{2}{3} = 1$となり、問題が成立しません。

問題文は、$\sqrt[n]{a\sqrt[3]{a}}=a$で、$n$を求める問題と考えられます。

$(a\sqrt[3]{a})^{\frac{1}{n}}=a$

$(a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{n}}=a$

$a^{\frac{4}{3n}}=a^1$

$\frac{4}{3n}=1$

$4 = 3n$

$n = \frac{4}{3}$

問題文は$\sqrt{a \times \sqrt[x]{a}} = a$で、$x$を求める問題であると解釈することもできます。

$\sqrt{a \times a^{\frac{1}{x}}} = a$

$(a^{1 + \frac{1}{x}})^{\frac{1}{2}} = a$

$a^{\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{x})} = a$

$\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{x}) = 1$

$1 + \frac{1}{x} = 2$

$\frac{1}{x} = 1$

$x = 1$

$\sqrt{a} = a$ ということになり、これは、$a = 1$ のときしか成立しません。

したがって、問題は成り立ちません。

3. 最終的な答え

問題が不適切であるため、空欄に当てはまる数はありません。問題が $\sqrt{a \times \sqrt[x]{a}} = a$ という形式であり、$x$ を求める問題であれば、答えは 1 です。