曲線 $y^2 = x^2(1-x)$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y^2 = x^2(1-x)$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y^2 = x^2(1-x)$ の概形を把握する。

$y = \pm x\sqrt{1-x}$ である。この曲線は $x$ 軸に関して対称であり、$x=0$ と $x=1$ で $y=0$ となる。また、$1-x \ge 0$ より、$x \le 1$ である必要がある。

$y$ の正の部分のグラフを $y = x\sqrt{1-x}$ とし、面積を計算した後、2倍すればよい。

面積 $S$ は、以下の定積分で計算できる。

$$S = 2\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x} dx$$

$1-x = t^2$ と置換する。すると、$x = 1-t^2$ であり、$dx = -2t dt$ となる。

積分範囲は $x: 0 \rightarrow 1$ に対して $t: 1 \rightarrow 0$ となる。

よって、

$$S = 2\int_{1}^{0} (1-t^2) \sqrt{t^2} (-2t) dt = 4\int_{0}^{1} (1-t^2)t^2 dt$$

$$S = 4\int_{0}^{1} (t^2-t^4) dt = 4 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{1} = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = 4 \left( \frac{5-3}{15} \right) = 4 \left( \frac{2}{15} \right) = \frac{8}{15}$$

3. 最終的な答え

$S = \frac{8}{15}$