以下の4つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$ (2) $\lim_{x\to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$ (3) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$ (4) $\lim_{x\to 1} \frac{x \log x}{1-x^2}$

## 回答

1. 問題の内容

以下の4つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$

(2) $\lim_{x\to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$

(4) $\lim_{x\to 1} \frac{x \log x}{1-x^2}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、分子の有理化を行います。分子と分母に$\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}$を掛けます。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{(1+x^2) - (1-x^2)}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} = \lim_{x\to 0} \frac{2x^2}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}$

$x\to 0$のとき、$\sqrt{1+x^2} \to 1$、$\sqrt{1-x^2} \to 1$となるので、

$\lim_{x\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{1+1} = 1$

(2)

同様に、分子の有理化を行います。

$\lim_{x\to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) = \lim_{x\to \infty} \sqrt{2x} \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$

$= \lim_{x\to \infty} \sqrt{2x} \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$

$= \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x}(\sqrt{1+1/x} + 1)} = \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1/x} + 1}$

$x \to \infty$のとき、$1/x \to 0$なので、$\sqrt{1+1/x} \to 1$となるので、

$\lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1/x} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{1+1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3)

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \frac{5x}{\sin 5x} \frac{6x}{5x}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{6x}{5x}$

$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{5}$

(4)

ロピタルの定理を使うことができます。

$\lim_{x\to 1} \frac{x \log x}{1-x^2} = \lim_{x\to 1} \frac{\log x + x \cdot \frac{1}{x}}{-2x} = \lim_{x\to 1} \frac{\log x + 1}{-2x}$

$x \to 1$のとき、$\log x \to 0$なので、

$\lim_{x\to 1} \frac{\log x + 1}{-2x} = \frac{0+1}{-2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\frac{6}{5}$

(4) $-\frac{1}{2}$