2次関数 $y = x^2 + 4x + 2m$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変化するかを求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 4x + 2m$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変化するかを求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 + 4x + 2m$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数は、2次方程式 $x^2 + 4x + 2m = 0$ の実数解の個数に等しくなります。

したがって、この2次方程式の判別式 $D$ を計算し、$D$ の符号によって共有点の個数を調べます。

判別式 $D$ は、

$D = b^2 - 4ac$

ここで、$a=1$, $b=4$, $c=2m$ であるから、

$D = 4^2 - 4(1)(2m) = 16 - 8m = 8(2-m)$

$D > 0$ のとき、2次方程式は異なる2つの実数解を持つので、共有点は2個。

$D = 0$ のとき、2次方程式は重解を持つので、共有点は1個。

$D < 0$ のとき、2次方程式は実数解を持たないので、共有点は0個。

それぞれの条件に対応する $m$ の範囲を求めます。

* $D > 0$ のとき、$8(2-m) > 0$ より $2-m > 0$, よって $m < 2$。このとき、共有点は2個。

* $D = 0$ のとき、$8(2-m) = 0$ より $2-m = 0$, よって $m = 2$。このとき、共有点は1個。

* $D < 0$ のとき、$8(2-m) < 0$ より $2-m < 0$, よって $m > 2$。このとき、共有点は0個。

3. 最終的な答え

* $m < 2$ のとき、共有点は2個

* $m = 2$ のとき、共有点は1個

* $m > 2$ のとき、共有点は0個