関数 $f(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{2x^5 - x^6}}$ と $g(x) = \frac{x^3}{(3x^4+1)(2x^2+3)}$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ ($x \to +0$) および $g(x)$ ($x \to \infty$) の位数を求める。 (2) 広義積分 $\int_0^1 f(x) dx$ および $\int_0^\infty g(x) dx$ の収束・発散を判定する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{2x^5 - x^6}}$ と $g(x) = \frac{x^3}{(3x^4+1)(2x^2+3)}$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ ($x \to +0$) および $g(x)$ ($x \to \infty$) の位数を求める。

(2) 広義積分 $\int_0^1 f(x) dx$ および $\int_0^\infty g(x) dx$ の収束・発散を判定する。

2. 解き方の手順

(1)(a) $f(x)$ ($x \to +0$) の位数を求める。

$x \to +0$ のとき、$\sin x \approx x$ である。また、$\sqrt{2x^5 - x^6} = \sqrt{x^5(2-x)} \approx \sqrt{2x^5} = \sqrt{2}x^{5/2}$ である。

よって、

$$$$

f(x) \approx \frac{x}{\sqrt{2}x^{5/2}} = \frac{1}{\sqrt{2}x^{3/2}}

$$$$

したがって、$f(x)$ の位数は $3/2$ である。

(1)(b) $g(x)$ ($x \to \infty$) の位数を求める。

$x \to \infty$ のとき、$3x^4+1 \approx 3x^4$ および $2x^2+3 \approx 2x^2$ である。

よって、

$$$$

g(x) \approx \frac{x^3}{(3x^4)(2x^2)} = \frac{x^3}{6x^6} = \frac{1}{6x^3}

$$$$

したがって、$g(x)$ の位数は $3$ である。

(2)(a) $\int_0^1 f(x) dx$ の収束・発散を判定する。

(1)(a)の結果より、$x \to +0$ のとき、$f(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2}x^{3/2}}$ である。

広義積分 $\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$ は $p < 1$ のとき収束し、$p \geq 1$ のとき発散する。

この場合、$p = 3/2 > 1$ であるから、$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2}x^{3/2}} dx$ は発散する。

したがって、$\int_0^1 f(x) dx$ は発散する。

(2)(b) $\int_0^\infty g(x) dx$ の収束・発散を判定する。

(1)(b)の結果より、$x \to \infty$ のとき、$g(x) \approx \frac{1}{6x^3}$ である。

広義積分 $\int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx$ は $p > 1$ のとき収束し、$p \leq 1$ のとき発散する。

この場合、$p = 3 > 1$ であるから、$\int_1^\infty \frac{1}{6x^3} dx$ は収束する。

また、$g(x)$ は $x=0$ で特異点を持たず、$\int_0^1 g(x) dx$ は有限の値を持つ。

したがって、$\int_0^\infty g(x) dx$ は収束する。

3. 最終的な答え

(1)(a) $3/2$

(1)(b) $3$

(2)(a) 発散

(2)(b) 収束