## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

1. 関数 $y = (\log_3{\frac{x}{27}})(\log_3{3x})$ ($1 \le x \le 81$) の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 関数 $y = \log_2{(-x^2 + 3x - 2)}$ の最大値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

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2. 解き方の手順

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1. (1) の問題

1. $\log_3{x} = t$ とおく。$1 \le x \le 81$ より、$0 \le t \le 4$ となる。

2. $y$ を $t$ で表す。

$\log_3{\frac{x}{27}} = \log_3{x} - \log_3{27} = t - 3$

$\log_3{3x} = \log_3{3} + \log_3{x} = 1 + t$

よって、

$y = (t - 3)(1 + t) = t^2 - 2t - 3 = (t - 1)^2 - 4$

3. $0 \le t \le 4$ の範囲で、$y$ の最大値と最小値を求める。

$y$ は $t = 1$ で最小値 $-4$ をとり、$t = 4$ で最大値 $5$ をとる。

4. $t$ から $x$ を求める。

$t = 1$ のとき、$\log_3{x} = 1$ より、$x = 3$

$t = 4$ のとき、$\log_3{x} = 4$ より、$x = 81$

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2. (2) の問題

1. 真数条件より、$-x^2 + 3x - 2 > 0$ を満たす $x$ の範囲を求める。

$-x^2 + 3x - 2 = -(x - 1)(x - 2) > 0$

よって、$1 < x < 2$

2. $f(x) = -x^2 + 3x - 2$ とおく。$y = \log_2{f(x)}$ の最大値を求めるためには、$f(x)$ の最大値を求めればよい。

$f(x) = -(x^2 - 3x + 2) = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{4}$

$1 < x < 2$ の範囲で、$f(x)$ は $x = \frac{3}{2}$ で最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。

3. $y$ の最大値を求める。

$y = \log_2{f(x)}$ より、$y$ の最大値は $\log_2{\frac{1}{4}} = -2$

このとき、$x = \frac{3}{2}$

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3. 最終的な答え

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1. (1) の問題

最大値: $5$ ($x = 81$ のとき)

最小値: $-4$ ($x = 3$ のとき)

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2. (2) の問題

最大値: $-2$ ($x = \frac{3}{2}$ のとき)