関数 $y = \log_2(-x^2+3x-2)$ の最大値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2(-x^2+3x-2)$ の最大値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、真数条件より、$-x^2+3x-2 > 0$ である必要があります。

$-x^2+3x-2 = -(x^2-3x+2) = -(x-1)(x-2) > 0$

$(x-1)(x-2) < 0$

したがって、$1 < x < 2$ となります。

次に、関数 $f(x) = -x^2+3x-2$ について考えます。

$f(x) = -(x^2 - 3x) - 2 = -(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 2 = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - 2 = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{4}$

したがって、$f(x)$ は $x = \frac{3}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{4}$ をとります。

$1 < \frac{3}{2} < 2$ であるため、$x = \frac{3}{2}$ は真数条件を満たします。

関数 $y = \log_2(-x^2+3x-2)$ は、$-x^2+3x-2$ が最大となるとき、最大値をとります。

したがって、$y$ の最大値は $\log_2(\frac{1}{4}) = \log_2(2^{-2}) = -2$ となります。

このとき、$x = \frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$-2$

$x$ の値：$\frac{3}{2}$