問題は以下の通りです。 (1) $\sin 3x$ を $\sin x$ を用いて表す。 (2) $\cos 3x$ を $\cos x$ を用いて表す。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) $\sin 3x$ を $\sin x$ を用いて表す。

(2) $\cos 3x$ を $\cos x$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 3x$ を $\sin x$ を用いて表す。

加法定理 $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ を用いる。

$\sin 3x = \sin(2x + x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$

倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ と $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いる。

$\sin 3x = (2 \sin x \cos x)\cos x + (1 - 2\sin^2 x)\sin x$

$\sin 3x = 2 \sin x \cos^2 x + \sin x - 2 \sin^3 x$

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いる。

$\sin 3x = 2 \sin x (1 - \sin^2 x) + \sin x - 2 \sin^3 x$

$\sin 3x = 2 \sin x - 2 \sin^3 x + \sin x - 2 \sin^3 x$

$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$

(2) $\cos 3x$ を $\cos x$ を用いて表す。

加法定理 $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ を用いる。

$\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$

倍角の公式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ と $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いる。

$\cos 3x = (2\cos^2 x - 1)\cos x - (2 \sin x \cos x)\sin x$

$\cos 3x = 2\cos^3 x - \cos x - 2 \sin^2 x \cos x$

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を用いる。

$\cos 3x = 2\cos^3 x - \cos x - 2 (1 - \cos^2 x) \cos x$

$\cos 3x = 2\cos^3 x - \cos x - 2 \cos x + 2 \cos^3 x$

$\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$

3. 最終的な答え

$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$

$\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$