曲線 $(x^2 + y^2)^2 = 2xy$ で囲まれた領域の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $(x^2 + y^2)^2 = 2xy$ で囲まれた領域の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とすると、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、与えられた式は以下のようになります。

$(r^2)^2 = 2(r\cos\theta)(r\sin\theta)$

$r^4 = 2r^2\cos\theta\sin\theta$

$r^2$ で割ると ($r=0$ は原点なので領域に含まれる)、

$r^2 = 2\cos\theta\sin\theta = \sin(2\theta)$

$r = \sqrt{\sin(2\theta)}$

領域の面積 $S$ は、極座標で以下のように表されます。

$S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$

$\sin(2\theta) \geq 0$ である必要があるので、

$0 \leq 2\theta \leq \pi$

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$

積分範囲は、$\theta$ が 0 から $\frac{\pi}{2}$ までです。

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2\theta) d\theta$

積分を計算します。

$S = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$S = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos(\pi) + \frac{1}{2} \cos(0) \right]$

$S = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} (-1) + \frac{1}{2} (1) \right]$

$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right]$

$S = \frac{1}{2} (1)$

$S = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$