以下の三角関数の値を求めよ。 (1) $\sin \frac{\pi}{12}$ (2) $\cos \frac{\pi}{12}$ (3) $\sin \frac{\pi}{8}$ (4) $\cos \frac{\pi}{8}$

1. 問題の内容

以下の三角関数の値を求めよ。

(1) $\sin \frac{\pi}{12}$

(2) $\cos \frac{\pi}{12}$

(3) $\sin \frac{\pi}{8}$

(4) $\cos \frac{\pi}{8}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \frac{\pi}{12}$ の場合：

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ であることを利用する。

$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ の公式を用いる。

$\sin \frac{\pi}{12} = \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入する。

$\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos \frac{\pi}{12}$ の場合：

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ であることを利用する。

$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ の公式を用いる。

$\cos \frac{\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入する。

$\cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(3) $\sin \frac{\pi}{8}$ の場合：

半角の公式 $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$ を用いる。

$\sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

$\sin \frac{\pi}{8} > 0$ より、

$\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(4) $\cos \frac{\pi}{8}$ の場合：

半角の公式 $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$ を用いる。

$\cos^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

$\cos \frac{\pi}{8} > 0$ より、

$\cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $\sin \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(4) $\cos \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$