極座標で表された曲線 $r = \cos^2\theta$ ( $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ ) が囲む領域の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

極座標で表された曲線 $r = \cos^2\theta$ ( $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ ) が囲む領域の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

極座標における面積の公式は

$S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$

です。

この問題では $r = \cos^2\theta$ であり、$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ です。したがって、面積 $S$ は

$S = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2\theta)^2 d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta d\theta$

と表されます。$\cos^4\theta$ は偶関数なので、

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta d\theta$

となります。

$\cos^4\theta$ の積分を計算するために、次の公式を使います：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}$ (nが偶数のとき)

したがって、

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta d\theta = \frac{4-1}{4} \cdot \frac{4-3}{4-2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3\pi}{16}$