関数 $y = \sqrt[3]{x^3 + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt[3]{x^3 + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = (x^3 + 1)^{\frac{1}{3}}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分法（チェーンルール）を適用します。チェーンルールは、関数 $y = f(g(x))$ の微分が $\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ で与えられるというものです。

この問題の場合、$f(u) = u^{\frac{1}{3}}$ かつ $g(x) = x^3 + 1$ と考えられます。

まず、$f(u) = u^{\frac{1}{3}}$ を $u$ で微分すると、

$\frac{df}{du} = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3(u^{\frac{2}{3}})}$

となります。

次に、$g(x) = x^3 + 1$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dg}{dx} = 3x^2$

となります。

したがって、チェーンルールを適用すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{dg}{dx} = \frac{1}{3(u^{\frac{2}{3}})} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{3(u^{\frac{2}{3}})}$

となります。

ここで、$u = x^3 + 1$ であるので、これを代入して、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{3((x^3 + 1)^{\frac{2}{3}})} = \frac{x^2}{(x^3 + 1)^{\frac{2}{3}}}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{(x^3 + 1)^{\frac{2}{3}}}$