関数 $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + x + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + x + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

分数の微分を行うので、商の微分公式を用います。商の微分公式は以下の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x^2 - 2x + 1$ と $v = x^2 + x + 1$ とします。

まず、$u$ と $v$ の微分を計算します。

$u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 1) = 2x - 2$

$v' = \frac{d}{dx}(x^2 + x + 1) = 2x + 1$

次に、商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{(2x - 2)(x^2 + x + 1) - (x^2 - 2x + 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

分子を展開して整理します。

$(2x - 2)(x^2 + x + 1) = 2x^3 + 2x^2 + 2x - 2x^2 - 2x - 2 = 2x^3 - 2$

$(x^2 - 2x + 1)(2x + 1) = 2x^3 + x^2 - 4x^2 - 2x + 2x + 1 = 2x^3 - 3x^2 + 1$

したがって、

$y' = \frac{(2x^3 - 2) - (2x^3 - 3x^2 + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{2x^3 - 2 - 2x^3 + 3x^2 - 1}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{3x^2 - 3}{(x^2 + x + 1)^2}$

$y' = \frac{3(x^2 - 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(x^2 - 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$