三角形ABCにおいて、$BC=5$, $CA=4$, $\angle C=60^\circ$のとき、辺ABの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=5$, $CA=4$, $\angle C=60^\circ$のとき、辺ABの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、辺ABの長さを求める。余弦定理は、三角形ABCにおいて、

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot \cos C$

で表される。

この問題では、$BC=5$, $CA=4$, $\angle C = 60^\circ$なので、

$AB^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$であるから、

$AB^2 = 25 + 16 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}$

$AB^2 = 41 - 20$

$AB^2 = 21$

$AB = \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{21}$