三角形ABCにおいて、AB=2, BC=$3\sqrt{2}$, cosB=$\frac{\sqrt{2}}{3}$である。辺BC上にAB=ADとなるように点Dをとる。 (i) sinBの値を求めよ。 (ii) ACの長さを求めよ。 (iii) 三角形ACDの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=2, BC=$3\sqrt{2}$, cosB=$\frac{\sqrt{2}}{3}$である。辺BC上にAB=ADとなるように点Dをとる。

(i) sinBの値を求めよ。

(ii) ACの長さを求めよ。

(iii) 三角形ACDの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) sinBの値を求める。

三角関数の相互関係より、$sin^2B + cos^2B = 1$であるから、

$sin^2B = 1 - cos^2B = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

$sinB > 0$より、 $sinB = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

(ii) ACの長さを求める。

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot cosB$

$AC^2 = 2^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = 4 + 18 - 8 = 14$

$AC>0$より、$AC = \sqrt{14}$

(iii) 三角形ACDの外接円の半径を求める。

AD = AB = 2であり、BD = BC - CD = $3\sqrt{2}$ - CD

三角形ABDは二等辺三角形であるから、$\angle ADB = \angle ABD = \angle B$

$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ADB = 180^{\circ} - B$

したがって、$\sin \angle ADC = \sin (180^{\circ} - B) = \sin B = \frac{\sqrt{7}}{3}$

三角形ACDの外接円の半径をRとすると、正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin \angle ADC} = 2R$

$2R = \frac{\sqrt{14}}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \sqrt{14} \cdot \frac{3}{\sqrt{7}} = \sqrt{2} \cdot 3 = 3\sqrt{2}$

$R = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(i) $sinB = \frac{\sqrt{7}}{3}$

(ii) $AC = \sqrt{14}$

(iii) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$