$\frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{5} = \frac{z+x}{7}$のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$の値を求める問題です。ただし、$x+y+z \neq 0$であるという条件が与えられています。

1. 問題の内容

$\frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{5} = \frac{z+x}{7}$のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$の値を求める問題です。ただし、$x+y+z \neq 0$であるという条件が与えられています。

2. 解き方の手順

$\frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{5} = \frac{z+x}{7} = k$とおきます。すると、

$x+y = 2k$

$y+z = 5k$

$z+x = 7k$

となります。これらの式をすべて足し合わせると、

$2(x+y+z) = 14k$

$x+y+z = 7k$

となります。

次に、$x+y = 2k$、$y+z = 5k$、$z+x = 7k$をそれぞれ$x+y+z = 7k$から引くと、

$z = 5k$

$x = 2k$

$y = 0k$ (つまり $y = 0$)

となります。

$x^2 + y^2 + z^2 = (2k)^2 + 0^2 + (5k)^2 = 4k^2 + 0 + 25k^2 = 29k^2$

$xy + yz + zx = (2k)(0) + (0)(5k) + (5k)(2k) = 0 + 0 + 10k^2 = 10k^2$

したがって、

$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} = \frac{10k^2}{29k^2} = \frac{10}{29}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{10}{29}$