この問題は、複素数の計算、2次関数の不等式が表す領域の図示、および分数関数・無理関数のグラフを描く問題です。 問題1: 複素数の計算 (1) $(\sqrt{3} - 3i)^2$ を計算します。 (2) $\frac{4+3i}{2-i}$ を計算します。 問題2: 2次関数の不等式が表す領域の図示 次の連立不等式が表す領域を図示します。 $\begin{cases} x + 2y - 2 < 0 \\ x^2 - 4x + y^2 + 6y + 4 > 0 \end{cases}$ 問題3: 関数グラフの描画 (1) $f(x) = \sqrt{-3x-2}$ のグラフを描きます。 (2) $f(x) = \frac{2x+1}{2x+3}$ のグラフを描きます。

1. 問題の内容

この問題は、複素数の計算、2次関数の不等式が表す領域の図示、および分数関数・無理関数のグラフを描く問題です。

問題1: 複素数の計算

(1) $(\sqrt{3} - 3i)^2$ を計算します。

(2) $\frac{4+3i}{2-i}$ を計算します。

問題2: 2次関数の不等式が表す領域の図示

次の連立不等式が表す領域を図示します。

$\begin{cases}

x + 2y - 2 < 0 \\

x^2 - 4x + y^2 + 6y + 4 > 0

\end{cases}$

問題3: 関数グラフの描画

(1) $f(x) = \sqrt{-3x-2}$ のグラフを描きます。

(2) $f(x) = \frac{2x+1}{2x+3}$ のグラフを描きます。

2. 解き方の手順

問題1

(1) $(\sqrt{3} - 3i)^2$ を展開します。

$(\sqrt{3} - 3i)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3})(3i) + (3i)^2 = 3 - 6\sqrt{3}i - 9 = -6 - 6\sqrt{3}i$

(2) $\frac{4+3i}{2-i}$ の分母を実数化します。

$\frac{4+3i}{2-i} = \frac{(4+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{8 + 4i + 6i + 3i^2}{4 - i^2} = \frac{8 + 10i - 3}{4 + 1} = \frac{5 + 10i}{5} = 1 + 2i$

問題2

(1) $x + 2y - 2 < 0$ を変形します。

$2y < -x + 2$

$y < -\frac{1}{2}x + 1$

これは、直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ の下側の領域を表します。境界線は含みません。

(2) $x^2 - 4x + y^2 + 6y + 4 > 0$ を変形します。

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 4 > 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + 4 - 4 - 9 > 0$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 > 9$

これは、中心 $(2, -3)$、半径 $3$ の円の外側の領域を表します。境界線は含みません。

したがって、求める領域は、直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ の下側の領域と、円 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$ の外側の領域の共通部分です。境界線は含みません。

問題3

(1) $f(x) = \sqrt{-3x-2}$

定義域は $-3x - 2 \geq 0$ より、$-3x \geq 2$, $x \leq -\frac{2}{3}$

$x = -\frac{2}{3}$ のとき $f(x) = 0$.

$y = \sqrt{-3x-2}$ より、$y^2 = -3x - 2$, $3x = -y^2 - 2$, $x = -\frac{1}{3}y^2 - \frac{2}{3}$

これは、$x$が負の方向を向いた放物線です。

グラフは、点 $(-\frac{2}{3}, 0)$ から始まり、左方向に減少していくグラフになります。

(2) $f(x) = \frac{2x+1}{2x+3}$

$f(x) = \frac{2x+3 - 2}{2x+3} = 1 - \frac{2}{2x+3} = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2}(2x+3)} = 1 - \frac{1}{x+\frac{3}{2}}$

これは、反比例のグラフ $y = -\frac{1}{x}$ を、$x$ 軸方向に $-\frac{3}{2}$、$y$ 軸方向に $1$ 平行移動したグラフです。

漸近線は $x = -\frac{3}{2}$ と $y = 1$ です。

3. 最終的な答え

問題1

(1) $-6 - 6\sqrt{3}i$

(2) $1 + 2i$

問題2

領域を図示。直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ の下側かつ円 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$ の外側。境界は含まない。

問題3

(1) $f(x) = \sqrt{-3x-2}$ のグラフを描く。

(2) $f(x) = \frac{2x+1}{2x+3}$ のグラフを描く。