与えられた行列 $A$ に対して、$Ax=b$ (ただし、$b$は全ての成分が1のベクトル)が解を持つための条件と、その解$x$を求めよ。ここで、$A$は$n$次の正方行列であり、$A=tI+J$ ($I$は単位行列、$J$は全ての成分が1の行列)の形をしている。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、$Ax=b$ (ただし、$b$は全ての成分が1のベクトル)が解を持つための条件と、その解$x$を求めよ。ここで、$A$は$n$次の正方行列であり、$A=tI+J$ ($I$は単位行列、$J$は全ての成分が1の行列)の形をしている。

2. 解き方の手順

まず、$A=tI+J$という行列の性質を利用して問題を解く。

$Ax=b$を変形する。$A=tI+J$を代入すると、

$(tI+J)x=b$

$tx+Jx=b$

ここで、$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$とすると、$Jx = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{n} x_i \\ \sum_{i=1}^{n} x_i \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} x_i \end{pmatrix} = (\sum_{i=1}^{n} x_i) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = (\sum_{i=1}^{n} x_i)b$と書ける。

よって、$tx+(\sum_{i=1}^{n} x_i)b=b$となる。$\sum_{i=1}^{n} x_i=c$とおくと、$tx+cb=b$となる。したがって、$tx = (1-c)b$となる。

$t \neq 0$のとき、$x = \frac{1-c}{t}b$となり、$x_i = \frac{1-c}{t}$ ($i=1,2,\dots,n$)となる。

$c = \sum_{i=1}^{n} x_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{1-c}{t} = n\frac{1-c}{t}$

$c = \frac{n-nc}{t}$

$ct = n-nc$

$c(t+n) = n$

$c = \frac{n}{t+n}$

よって、$x_i = \frac{1-c}{t} = \frac{1-\frac{n}{t+n}}{t} = \frac{\frac{t+n-n}{t+n}}{t} = \frac{t}{t(t+n)} = \frac{1}{t+n}$ ($i=1,2,\dots,n$)

$x = \begin{pmatrix} \frac{1}{t+n} \\ \frac{1}{t+n} \\ \vdots \\ \frac{1}{t+n} \end{pmatrix}$

この解が存在するためには、$t \neq 0$と$t+n \neq 0$が必要である。

$t=0$のとき、$Jx=b$となる。この時、全ての成分が$1$のベクトル$x$の成分の和が$1$とならなくてはならないので、$n=1$である必要がある。このとき、$x$は任意である。

まとめると、$t \neq 0$かつ$t \neq -n$のとき、$x = \begin{pmatrix} \frac{1}{t+n} \\ \frac{1}{t+n} \\ \vdots \\ \frac{1}{t+n} \end{pmatrix}$が解となる。

$t=0$のとき、$n=1$であれば$x=1$が解となる。

$t=-n$のとき、解は存在しない。

3. 最終的な答え

- $t \neq 0$かつ$t \neq -n$のとき、解は$x = \begin{pmatrix} \frac{1}{t+n} \\ \frac{1}{t+n} \\ \vdots \\ \frac{1}{t+n} \end{pmatrix}$

- $t = 0$ かつ $n=1$のとき、$x = 1$

- $t = -n$のとき、解なし