$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求める。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = -x^2 + 2x + 1$

$y = -(x^2 - 2x) + 1$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 1$

$y = -(x - 1)^2 + 2$

したがって、この関数の頂点は $(1, 2)$ である。

$x = 1$ は定義域 $0 \le x \le a$ に含まれるか否かで場合分けを行う。

(i) $0 < a < 1$ のとき、定義域内で関数は単調増加である。よって、最大値は $x = a$ のときにとり、最大値は $-a^2 + 2a + 1$ である。

(ii) $a = 1$ のとき、定義域内で関数は単調増加である。よって、最大値は $x = a=1$ のときにとり、最大値は $-1^2 + 2(1) + 1 = 2$ である。

(iii) $a > 1$ のとき、頂点 $x = 1$ が定義域に含まれる。したがって、最大値は頂点の $y$ 座標である $2$ となる。($x=1$のとき)

以上をまとめると、

$0 < a < 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$a \ge 1$ のとき、最大値は $2$

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$ のとき、最大値 $-a^2 + 2a + 1$

$a \ge 1$ のとき、最大値 $2$