次の和を計算する問題です。 $\frac{1}{1+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$

1. 問題の内容

次の和を計算する問題です。

$\frac{1}{1+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化します。

一般に、$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ を有理化するには、分子と分母に $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ を掛けます。すると、

$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$

となります。

各項の分母は、$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ の形で、差が一定（この場合は4）になっていることに注目します。具体的には、分母の$a$の値は$1, 5, 9, 13, ..., 45$となっています。

各項を有理化します。

$\frac{1}{1+\sqrt{5}} = \frac{1-\sqrt{5}}{1-5} = \frac{1-\sqrt{5}}{-4} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{9}}{5-9} = \frac{\sqrt{5}-3}{-4} = \frac{3-\sqrt{5}}{4}$

$\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{9}-\sqrt{13}}{9-13} = \frac{3-\sqrt{13}}{-4} = \frac{\sqrt{13}-3}{4}$

$\cdots$

$\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{45}-\sqrt{49}}{45-49} = \frac{\sqrt{45}-7}{-4} = \frac{7-\sqrt{45}}{4}$

したがって、与えられた和は、

$\frac{\sqrt{5}-1}{4} + \frac{3-\sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{13}-3}{4} + \cdots + \frac{7-\sqrt{45}}{4}$

$=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1 + 3-\sqrt{5} + \sqrt{13}-3 + \cdots + 7-\sqrt{45})$

この和は、隣り合う項が打ち消し合う形になっています。具体的には、$\sqrt{5}$, $3$, $\sqrt{13}$ などが打ち消し合います。

残る項は、$-\sqrt{1} = -1$ と $7$ です。

したがって、

$\frac{1}{4}(-1+7) = \frac{1}{4}(6) = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$