放物線 $y = x^2 + 2(2a+1)x + a + 1$ がx軸と異なる2点で交わるときの、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 2(2a+1)x + a + 1$ がx軸と異なる2点で交わるときの、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線がx軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

まず、与えられた放物線の式から判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac$

ここで、$a = 1$, $b = 2(2a+1)$, $c = a+1$ なので、

$D = [2(2a+1)]^2 - 4(1)(a+1)$

$D = 4(4a^2 + 4a + 1) - 4(a+1)$

$D = 16a^2 + 16a + 4 - 4a - 4$

$D = 16a^2 + 12a$

$D > 0$ となる $a$ の範囲を求めます。

$16a^2 + 12a > 0$

$4a(4a + 3) > 0$

この不等式を解くと、$a < -\frac{3}{4}$ または $a > 0$ となります。

3. 最終的な答え

$a < -\frac{3}{4}$ または $a > 0$