与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。具体的には、 (1) 頂点の座標と通る点が与えられた場合 (2) 軸の方程式と通る2点が与えられた場合 (3) 通る3点が与えられた場合 (4) x軸との交点2つとy軸との交点が与えられた場合 それぞれについて2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。具体的には、

(1) 頂点の座標と通る点が与えられた場合

(2) 軸の方程式と通る2点が与えられた場合

(3) 通る3点が与えられた場合

(4) x軸との交点2つとy軸との交点が与えられた場合

それぞれについて2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が(-2, 7)で、点(1, -2)を通る場合

頂点の座標が与えられているので、2次関数を$y = a(x + 2)^2 + 7$ とおくことができます。この関数が点(1, -2)を通るので、代入して $a$ を求めます。

$-2 = a(1 + 2)^2 + 7$

$-2 = 9a + 7$

$9a = -9$

$a = -1$

よって、2次関数は$y = -(x + 2)^2 + 7 = -(x^2 + 4x + 4) + 7 = -x^2 - 4x + 3$となります。

(2) $x = -1$ を軸とし、2点(-2, -3), (1, 3)を通る場合

軸が$x = -1$なので、$y = a(x + 1)^2 + q$ とおくことができます。この関数が2点(-2, -3), (1, 3)を通るので、それぞれ代入します。

$-3 = a(-2 + 1)^2 + q = a + q$

$3 = a(1 + 1)^2 + q = 4a + q$

連立方程式を解きます。

$a + q = -3$

$4a + q = 3$

2式を引き算すると、

$3a = 6$

$a = 2$

$q = -3 - a = -3 - 2 = -5$

よって、2次関数は$y = 2(x + 1)^2 - 5 = 2(x^2 + 2x + 1) - 5 = 2x^2 + 4x - 3$となります。

(3) 3点(-1, -8), (0, 1), (2, 1)を通る場合

2次関数を$y = ax^2 + bx + c$ とおきます。3点を通るので、それぞれ代入します。

$-8 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$

$1 = a(0)^2 + b(0) + c = c$

$1 = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c$

$c = 1$ なので、

$a - b + 1 = -8$

$4a + 2b + 1 = 1$

整理すると、

$a - b = -9$

$4a + 2b = 0$

$2a + b = 0$

2式を足し合わせると、

$3a = -9$

$a = -3$

$b = -2a = -2(-3) = 6$

よって、2次関数は$y = -3x^2 + 6x + 1$となります。

(4) x軸と点 (-2, 0),(3, 0) で交わり, y軸と点(0, -3) で交わる場合

x軸との交点が$x = -2, 3$なので、$y = a(x + 2)(x - 3)$とおけます。y軸との交点が(0, -3)なので代入します。

$-3 = a(0 + 2)(0 - 3) = -6a$

$a = \frac{1}{2}$

よって、2次関数は$y = \frac{1}{2}(x + 2)(x - 3) = \frac{1}{2}(x^2 - x - 6) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 3$となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 - 4x + 3$

(2) $y = 2x^2 + 4x - 3$

(3) $y = -3x^2 + 6x + 1$

(4) $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 3$