与えられた条件を満たす二次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標と通る点が与えられた場合に、二次関数を求めます。 (2) 軸の方程式と通る2点が与えられた場合に、二次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす二次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標と通る点が与えられた場合に、二次関数を求めます。

(2) 軸の方程式と通る2点が与えられた場合に、二次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が $(2, 3)$ であることから、二次関数は $y = a(x-2)^2 + 3$ と表せます。

この関数が点 $(5, -6)$ を通ることから、$x=5, y=-6$ を代入して $a$ の値を求めます。

$-6 = a(5-2)^2 + 3$

$-6 = 9a + 3$

$9a = -9$

$a = -1$

よって、求める二次関数は $y = -(x-2)^2 + 3$ です。

これを展開すると、$y = -(x^2 - 4x + 4) + 3 = -x^2 + 4x - 4 + 3 = -x^2 + 4x - 1$ となります。

(2) 軸が $x = -2$ であることから、二次関数は $y = a(x+2)^2 + q$ と表せます。

この関数が点 $(2, -1)$ と $(-8, 4)$ を通ることから、$x=2, y=-1$ と $x=-8, y=4$ を代入して連立方程式を立て、$a$ と $q$ の値を求めます。

$x=2, y=-1$ を代入すると、

$-1 = a(2+2)^2 + q$

$-1 = 16a + q$

$x=-8, y=4$ を代入すると、

$4 = a(-8+2)^2 + q$

$4 = 36a + q$

2つの式を連立して解きます。

$36a + q = 4$

$16a + q = -1$

上の式から下の式を引くと、

$20a = 5$

$a = \frac{1}{4}$

$16a + q = -1$ に $a = \frac{1}{4}$ を代入すると、

$16 \cdot \frac{1}{4} + q = -1$

$4 + q = -1$

$q = -5$

よって、求める二次関数は $y = \frac{1}{4}(x+2)^2 - 5$ です。

これを展開すると、$y = \frac{1}{4}(x^2 + 4x + 4) - 5 = \frac{1}{4}x^2 + x + 1 - 5 = \frac{1}{4}x^2 + x - 4$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 4x - 1$

(2) $y = \frac{1}{4}x^2 + x - 4$