(1) $\frac{3}{1+\sqrt{2}}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a$ の値と $a^2 + 8a$ の値を求める。 (2) $x, y$ が整数のとき、$x^2 + y^2$ が3の倍数であることと、$x, y$ がともに3の倍数であることの関係，$x^3 + y^3$ が3の倍数であることと、$x, y$ がともに3の倍数であることの関係について、必要条件、十分条件のいずれであるか、あるいは必要十分条件であるか、または必要条件でも十分条件でもないかを答える。

1. 問題の内容

(1) $\frac{3}{1+\sqrt{2}}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a$ の値と $a^2 + 8a$ の値を求める。

(2) $x, y$ が整数のとき、$x^2 + y^2$ が3の倍数であることと、$x, y$ がともに3の倍数であることの関係，$x^3 + y^3$ が3の倍数であることと、$x, y$ がともに3の倍数であることの関係について、必要条件、十分条件のいずれであるか、あるいは必要十分条件であるか、または必要条件でも十分条件でもないかを答える。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{3}{1+\sqrt{2}}$ を有理化します。

$\frac{3}{1+\sqrt{2}} = \frac{3(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = \frac{3(1-\sqrt{2})}{1-2} = \frac{3(1-\sqrt{2})}{-1} = -3 + 3\sqrt{2}$

ここで、$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$3\sqrt{2} \approx 3 \times 1.414 = 4.242$

したがって、$-3 + 3\sqrt{2} \approx -3 + 4.242 = 1.242$

整数部分は1なので、小数部分 $a = -3 + 3\sqrt{2} - 1 = 3\sqrt{2} - 4$。したがって、1の答えはウ。

次に、$a^2 + 8a$ を計算します。

$a^2 + 8a = (3\sqrt{2} - 4)^2 + 8(3\sqrt{2} - 4) = (18 - 24\sqrt{2} + 16) + (24\sqrt{2} - 32) = 34 - 24\sqrt{2} + 24\sqrt{2} - 32 = 2$

したがって、2の答えはイ。

(2)

$x^2 + y^2$ が3の倍数であることと、$x, y$ がともに3の倍数であることの関係を考えます。

$x = 1, y = 1$ のとき、$x^2 + y^2 = 1 + 1 = 2$ (3の倍数ではない)。

$x = 1, y = 2$ のとき、$x^2 + y^2 = 1 + 4 = 5$ (3の倍数ではない)。

$x = 3k+1$, $y = 3l+1$ のとき $x^2+y^2 = 9k^2+6k+1+9l^2+6l+1=3(3k^2+2k+3l^2+2l)+2$

$x^2 + y^2$ が3の倍数であるならば、$x$ と $y$ がともに3の倍数であるは必要条件です。

$x, y$ がともに3の倍数であるならば、$x^2+y^2$ は3の倍数なので十分条件です。

したがって、必要十分条件です。

3の答えはア。

$x^3 + y^3$ が3の倍数であることと、$x, y$ がともに3の倍数であることの関係を考えます。

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$

$x = 1, y = 2$ のとき、$x^3 + y^3 = 1 + 8 = 9$ (3の倍数)。しかし、$x, y$ はともに3の倍数ではない。

したがって、$x^3 + y^3$ が3の倍数であることは、$x, y$ がともに3の倍数であるための必要条件ではありません。

$x, y$ がともに3の倍数の時、$x^3+y^3$ は3の倍数なので、$x^3+y^3$ が3の倍数であるための十分条件です。

したがって、十分条件であるが、必要条件ではない。

4の答えはウ。

3. 最終的な答え

1: ウ

2: イ

3: ア

4: ウ