三角柱ABC-DEFにおいて、AB=AD=6cm, AC=BC=5cm, ∠BAD=∠CAD=90°である。辺CF上に点Pがあり、ABの中点をMとする。∠BMPの大きさを求める問題である。

1. 問題の内容

三角柱ABC-DEFにおいて、AB=AD=6cm, AC=BC=5cm, ∠BAD=∠CAD=90°である。辺CF上に点Pがあり、ABの中点をMとする。∠BMPの大きさを求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCに着目する。AC=BC=5cm, ABは不明だが、三角形ABMにおいて考える。ABの中点をMとする。

△ABCにおいて、点MはABの中点なので、BM=AB/2となる。

△ABCは二等辺三角形であり、MはABの中点なので、CMは∠ACBの二等分線であり、CMはABに対して垂直になる。

∠ABC = ∠BACである。

次に、△ABDに着目する。AD=AB=6cm, ∠BAD=90°より、△ABDは直角二等辺三角形なので、∠ABD=∠ADB=45°である。

△ABMにおいて、AM=MBなので、∠BMAは求められない。

ここで、座標空間を考える。

A(0,0,0)

B(6,0,0)

D(0,6,0)

C(0,0,5)

F(6,6,0)

PはCF上にあるので、P(6t,6t,5(1-t)) (0 < t < 1)と表せる。

MはABの中点なので、M(3,0,0)である。

$\vec{BM} = (3-6,0-0,0-0) = (-3,0,0)$

$\vec{MP} = (6t-3,6t,5(1-t))$

$\vec{BM} \cdot \vec{MP} = |\vec{BM}| |\vec{MP}| cos∠BMP$

$\vec{BM} \cdot \vec{MP} = (-3)(6t-3) + (0)(6t) + (0)(5(1-t)) = -18t + 9$

$|\vec{BM}| = \sqrt{(-3)^2+0^2+0^2} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{MP}| = \sqrt{(6t-3)^2 + (6t)^2 + (5(1-t))^2} = \sqrt{36t^2 -36t+9 + 36t^2 + 25(1-2t+t^2)} = \sqrt{36t^2 -36t+9 + 36t^2 + 25 - 50t + 25t^2} = \sqrt{97t^2 -86t+34}$

$-18t + 9 = 3\sqrt{97t^2 -86t+34} cos∠BMP$

$cos∠BMP = \frac{-18t+9}{3\sqrt{97t^2 -86t+34}} = \frac{-6t+3}{\sqrt{97t^2 -86t+34}}$

t=1/2のときPはCFの中点となり、P(3,3,5/2)

$\vec{MP} = (0,3,5/2)$

$|\vec{MP}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + (5/2)^2} = \sqrt{9 + 25/4} = \sqrt{61/4} = \frac{\sqrt{61}}{2}$

$cos∠BMP = \frac{0}{\sqrt{61}/2} = 0$

∠BMP = 90°

3. 最終的な答え

90