不定積分 $\int (-6x^2 - 4x + 7) dx$ を求めなさい。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (-6x^2 - 4x + 7) dx$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

不定積分は、それぞれの項を積分することで求められます。

* $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$、$C$ は積分定数)

* $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$ (ただし、$k$ は定数)

* $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$

まず、各項を積分します。

$\int -6x^2 dx = -6 \int x^2 dx = -6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = -2x^3 + C_1$

$\int -4x dx = -4 \int x dx = -4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_2 = -4 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = -2x^2 + C_2$

$\int 7 dx = 7 \int 1 dx = 7 \cdot x + C_3 = 7x + C_3$

これらの結果を合計します。

$\int (-6x^2 - 4x + 7) dx = -2x^3 - 2x^2 + 7x + C_1 + C_2 + C_3$

$C = C_1 + C_2 + C_3$ とすれば、$C$ も積分定数なので、

$\int (-6x^2 - 4x + 7) dx = -2x^3 - 2x^2 + 7x + C$

3. 最終的な答え

$-2x^3 - 2x^2 + 7x + C$