次の関数の導関数を計算します。 (1) $f(x) = (x^5 + 1)(3x^2 - 5)$ (2) $f(x) = \frac{1}{(4x + 1)^3}$

## 問題 7 (関数の微分)

1. 問題の内容

次の関数の導関数を計算します。

(1) $f(x) = (x^5 + 1)(3x^2 - 5)$

(2) $f(x) = \frac{1}{(4x + 1)^3}$

2. 解き方の手順

(1) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = x^5 + 1$ とすると、$u' = 5x^4$。

$v = 3x^2 - 5$ とすると、$v' = 6x$。

よって、$f'(x) = (5x^4)(3x^2 - 5) + (x^5 + 1)(6x) = 15x^6 - 25x^4 + 6x^6 + 6x = 21x^6 - 25x^4 + 6x$

(2) 合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$を使用します。

$f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$ とすると、$f'(x) = -3x^{-4}$。

$g(x) = 4x + 1$ とすると、$g'(x) = 4$。

よって、$f'(x) = -3(4x + 1)^{-4}(4) = -12(4x + 1)^{-4} = \frac{-12}{(4x + 1)^4}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 21x^6 - 25x^4 + 6x$

(2) $f'(x) = \frac{-12}{(4x + 1)^4}$

## 問題 8 (関数のグラフ)

1. 問題の内容

次の関数の増減表とグラフを書きます。

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$

2. 解き方の手順

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3x(x - 2) = 0$ より、$x = 0, 2$。

次に、増減表を作成します。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

|-----|-----|-----|-----|-----|-----|

| f'(x)| + | 0 | - | 0 | + |

| f(x)| 増加| 2 | 減少| -2 | 増加|

$x = 0$ のとき、$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$ (極大値)

$x = 2$ のとき、$f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$ (極小値)

グラフについては、以下の特徴があります。

- x切片: $f(x) = 0$ となるxを求めます。$x^3 - 3x^2 + 2 = (x-1)(x^2 - 2x -2)$。よって、$x=1$, $x=1 \pm \sqrt{3}$.

- y切片: $f(0) = 2$

- 極大値: $(0, 2)$

- 極小値: $(2, -2)$

3. 最終的な答え

増減表は上記に示した通り。グラフは、x軸との交点が$x=1, 1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}$にあり、y軸との交点が$(0,2)$にあり、極大点が$(0,2)$、極小点が$(2,-2)$である3次関数。

## 問題 9 (不定積分)

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

(1) $I = \int (x^5 - 3x^4 + 5x^3 + 3) dx$

(2) $I = \int (\sqrt[3]{x^5} - \frac{1}{x^2}) dx$

2. 解き方の手順

(1) 各項を個別に積分します。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (Cは積分定数) を用います。

$I = \int x^5 dx - 3\int x^4 dx + 5\int x^3 dx + 3\int dx$

$I = \frac{x^6}{6} - 3\frac{x^5}{5} + 5\frac{x^4}{4} + 3x + C$

(2) $\sqrt[3]{x^5} = x^{5/3}$ と書き換えます。 $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$と書き換えます。

$I = \int (x^{5/3} - x^{-2}) dx$

$I = \int x^{5/3} dx - \int x^{-2} dx$

$I = \frac{x^{8/3}}{8/3} - \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{3}{8}x^{8/3} + \frac{1}{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $I = \frac{x^6}{6} - \frac{3}{5}x^5 + \frac{5}{4}x^4 + 3x + C$

(2) $I = \frac{3}{8}x^{8/3} + \frac{1}{x} + C$