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不定積分 $\int (12x^3 - 9x^2 + 6x - 4) dx$ を求めよ。

解析学不定積分積分多項式
2025/4/5

1. 問題の内容

不定積分 ∫(12x3−9x2+6x−4)dx\int (12x^3 - 9x^2 + 6x - 4) dx を求めよ。

2. 解き方の手順

不定積分の線形性より、各項ごとに積分を計算できる。
∫(12x3−9x2+6x−4)dx=∫12x3dx−∫9x2dx+∫6xdx−∫4dx\int (12x^3 - 9x^2 + 6x - 4) dx = \int 12x^3 dx - \int 9x^2 dx + \int 6x dx - \int 4 dx
各項の積分を計算する。
∫12x3dx=12∫x3dx=12⋅x44=3x4\int 12x^3 dx = 12 \int x^3 dx = 12 \cdot \frac{x^4}{4} = 3x^4
∫9x2dx=9∫x2dx=9⋅x33=3x3\int 9x^2 dx = 9 \int x^2 dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3
∫6xdx=6∫xdx=6⋅x22=3x2\int 6x dx = 6 \int x dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2
∫4dx=4x\int 4 dx = 4x
よって、
∫(12x3−9x2+6x−4)dx=3x4−3x3+3x2−4x+C\int (12x^3 - 9x^2 + 6x - 4) dx = 3x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 4x + C
ここで、CCは積分定数である。

3. 最終的な答え

3x4−3x3+3x2−4x+C3x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 4x + C

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