不定積分 $\int (12x^3 - 9x^2 + 6x - 4) dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (12x^3 - 9x^2 + 6x - 4) dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

不定積分の線形性より、各項ごとに積分を計算できる。

$\int (12x^3 - 9x^2 + 6x - 4) dx = \int 12x^3 dx - \int 9x^2 dx + \int 6x dx - \int 4 dx$

各項の積分を計算する。

$\int 12x^3 dx = 12 \int x^3 dx = 12 \cdot \frac{x^4}{4} = 3x^4$

$\int 9x^2 dx = 9 \int x^2 dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$

$\int 6x dx = 6 \int x dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2$

$\int 4 dx = 4x$

よって、

$\int (12x^3 - 9x^2 + 6x - 4) dx = 3x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 4x + C$

ここで、$C$は積分定数である。

3. 最終的な答え

$3x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 4x + C$