与えられた多項式の不定積分を求めます。積分対象の関数は $5x^3 + 4x^2 - 2x + 7$ です。

1. 問題の内容

与えられた多項式の不定積分を求めます。積分対象の関数は $5x^3 + 4x^2 - 2x + 7$ です。

2. 解き方の手順

不定積分の計算は、各項ごとに積分を行い、最後に積分定数 $C$ を加えることで行います。積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用います。

まず、$5x^3$ の積分は次のようになります。

$\int 5x^3 dx = 5 \int x^3 dx = 5 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{5}{4}x^4$

次に、$4x^2$ の積分は次のようになります。

$\int 4x^2 dx = 4 \int x^2 dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{4}{3}x^3$

次に、$-2x$ の積分は次のようになります。

$\int -2x dx = -2 \int x dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2$

最後に、$7$ の積分は次のようになります。

$\int 7 dx = 7 \int 1 dx = 7x$

これらの積分を足し合わせ、積分定数 $C$ を加えると、不定積分は次のようになります。

$\int (5x^3 + 4x^2 - 2x + 7) dx = \frac{5}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - x^2 + 7x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - x^2 + 7x + C$