関数 $y=x^2-2$ のグラフに点 $(2, -7)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。ただし、既に一つの解 $y = 10x - 27$ が与えられています。 もう一つの解を求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y=x^2-2$ のグラフに点 $(2, -7)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。ただし、既に一つの解 $y = 10x - 27$ が与えられています。 もう一つの解を求める必要があります。

2. 解き方の手順

点 $(2, -7)$ は関数 $y = x^2 - 2$ 上の点ではないので、この点から接線を引くことになります。

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接点の座標は $(t, t^2 - 2)$ と表せます。

$y = x^2 - 2$ を微分すると $y' = 2x$ となります。

したがって、点 $(t, t^2 - 2)$ における接線の傾きは $2t$ となります。

この接線の方程式は、点 $(t, t^2 - 2)$ を通り傾きが $2t$ であることから、

$y - (t^2 - 2) = 2t(x - t)$

と表せます。これを整理すると、

$y = 2tx - 2t^2 + t^2 - 2$

$y = 2tx - t^2 - 2$

となります。

この接線が点 $(2, -7)$ を通るので、これを代入すると、

$-7 = 2t(2) - t^2 - 2$

$-7 = 4t - t^2 - 2$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

$(t - 5)(t + 1) = 0$

$t = 5, -1$

$t = 5$ のとき、$y = 2(5)x - 5^2 - 2 = 10x - 27$ となり、これは与えられた解です。

$t = -1$ のとき、$y = 2(-1)x - (-1)^2 - 2 = -2x - 1 - 2 = -2x - 3$ となります。

3. 最終的な答え

$y = -2x - 3$