関数 $y=2x^2+x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y=2x^2+x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, 2t^2+t)$ とする。

$y=2x^2+x$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 4x + 1$

接線の方程式は、

$y - (2t^2+t) = (4t+1)(x-t)$

この接線が点 $(-2, -12)$ を通るので、代入すると、

$-12 - (2t^2+t) = (4t+1)(-2-t)$

$-12 - 2t^2 - t = -8t - 4t^2 - 2 - t$

$2t^2 + 8t - 10 = 0$

$t^2 + 4t - 5 = 0$

$(t+5)(t-1) = 0$

$t = -5, 1$

$t=-5$のとき、接点の座標は $(-5, 45)$

接線の傾きは $4(-5)+1 = -19$

接線の方程式は $y-45 = -19(x+5)$

$y = -19x - 95 + 45$

$y = -19x - 50$

$t=1$のとき、接点の座標は $(1, 3)$

接線の傾きは $4(1)+1 = 5$

接線の方程式は $y-3 = 5(x-1)$

$y = 5x - 5 + 3$

$y = 5x - 2$

3. 最終的な答え

$y = 5x - 2$