以下の4つの広義積分の値を求める問題です。 (1) $\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx$ (2) $\int_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx$ (3) $\int_{0}^{1} x^{-1/3} dx$ (4) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1-x)^{2/3}}$

1. 問題の内容

以下の4つの広義積分の値を求める問題です。

(1) $\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

(2) $\int_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx$

(3) $\int_{0}^{1} x^{-1/3} dx$

(4) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1-x)^{2/3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

$u = x^2$とおくと、$du = 2x dx$より、$x dx = \frac{1}{2} du$。

積分範囲は$x: 1 \to \infty$なので、$u: 1 \to \infty$となる。

よって、

$\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx = \int_{1}^{\infty} e^{-u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_{1}^{\infty} = \frac{1}{2} (0 - (-e^{-1})) = \frac{1}{2e}$

(2) $\int_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx$

$\int_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx = \left[ \frac{x^{-1/2}}{-1/2} \right]_{1}^{\infty} = \left[ -2x^{-1/2} \right]_{1}^{\infty} = -2(0 - 1) = 2$

(3) $\int_{0}^{1} x^{-1/3} dx$

$\int_{0}^{1} x^{-1/3} dx = \left[ \frac{x^{2/3}}{2/3} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{3}{2} x^{2/3} \right]_{0}^{1} = \frac{3}{2} (1-0) = \frac{3}{2}$

(4) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1-x)^{2/3}}$

$u = 1-x$とおくと、$du = -dx$より、$dx = -du$。

積分範囲は$x: 0 \to 1$なので、$u: 1 \to 0$となる。

よって、

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1-x)^{2/3}} = \int_{1}^{0} \frac{-du}{u^{2/3}} = - \int_{1}^{0} u^{-2/3} du = \int_{0}^{1} u^{-2/3} du = \left[ \frac{u^{1/3}}{1/3} \right]_{0}^{1} = \left[ 3u^{1/3} \right]_{0}^{1} = 3(1-0) = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2e}$

(2) $2$

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $3$