次の不定積分を求める。 (1) $\int \frac{3}{2x-1} dx$ (2) $\int \frac{8x-2}{2x^2-x+2} dx$ (3) $\int \frac{1}{x \log x} dx$ (4) $\int \frac{\cos x}{\sin x} dx$ (5) $\int (2x^2 - x + 2)(8x - 2) dx$ (6) $\int \frac{\log x}{x} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求める。

(1) $\int \frac{3}{2x-1} dx$

(2) $\int \frac{8x-2}{2x^2-x+2} dx$

(3) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

(4) $\int \frac{\cos x}{\sin x} dx$

(5) $\int (2x^2 - x + 2)(8x - 2) dx$

(6) $\int \frac{\log x}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$u = 2x-1$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$ である。

$\int \frac{3}{2x-1} dx = \int \frac{3}{u} \frac{1}{2} du = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{3}{2} \log |u| + C = \frac{3}{2} \log |2x-1| + C$

(2)

$u = 2x^2 - x + 2$ と置換すると、$du = (4x-1)dx$ である。

$8x-2 = 2(4x-1)$ より、

$\int \frac{8x-2}{2x^2-x+2} dx = \int \frac{2(4x-1)}{2x^2-x+2} dx = 2 \int \frac{4x-1}{2x^2-x+2} dx = 2 \int \frac{1}{u} du = 2 \log |u| + C = 2 \log |2x^2 - x + 2| + C$

(3)

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ である。

$\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{\log x} \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\log x| + C$

(4)

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ である。

$\int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{\sin x} \cos x dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\sin x| + C$

(5)

$(2x^2 - x + 2)(8x - 2) = 16x^3 - 4x^2 + 16x - 8x^2 + 2x - 4 = 16x^3 - 12x^2 + 18x - 4$

$\int (2x^2 - x + 2)(8x - 2) dx = \int (16x^3 - 12x^2 + 18x - 4) dx = 16 \int x^3 dx - 12 \int x^2 dx + 18 \int x dx - 4 \int dx = 16 \frac{x^4}{4} - 12 \frac{x^3}{3} + 18 \frac{x^2}{2} - 4x + C = 4x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 4x + C$

(6)

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ である。

$\int \frac{\log x}{x} dx = \int \log x \frac{1}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\log x)^2}{2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2} \log |2x-1| + C$

(2) $2 \log |2x^2 - x + 2| + C$

(3) $\log |\log x| + C$

(4) $\log |\sin x| + C$

(5) $4x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 4x + C$

(6) $\frac{(\log x)^2}{2} + C$