与えられた3次方程式 $x^3 - 2ax^2 + a^2x - \frac{4}{27}a^3 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式

$x^3 - 2ax^2 + a^2x - \frac{4}{27}a^3 = 0$

を解きます。

2. 解き方の手順

この3次方程式は因数分解できる形をしています。

まず、$x=ka$（$k$は定数）の形を仮定して、与えられた式に代入してみます。

$k^3a^3 - 2ak^2a^2 + a^2ka - \frac{4}{27}a^3 = 0$

$a^3(k^3 - 2k^2 + k - \frac{4}{27}) = 0$

したがって、$k^3 - 2k^2 + k - \frac{4}{27} = 0$ を満たす$k$を求めれば良いことになります。

$k = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$(\frac{2}{3})^3 - 2(\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} - \frac{4}{27} = \frac{8}{27} - 2\frac{4}{9} + \frac{2}{3} - \frac{4}{27} = \frac{8}{27} - \frac{24}{27} + \frac{18}{27} - \frac{4}{27} = \frac{8-24+18-4}{27} = \frac{-2}{27} \neq 0$

$k = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$(\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} - \frac{4}{27} = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} - \frac{4}{27} = \frac{1}{27} - \frac{6}{27} + \frac{9}{27} - \frac{4}{27} = \frac{1-6+9-4}{27} = 0$

よって、$k=\frac{1}{3}$ が解の一つであることが分かります。

これは、$x = \frac{1}{3}a$ が解の一つであることを意味します。

したがって、$(x-\frac{1}{3}a)$ で与式は割り切れるはずです。

実際に割り算をすると、

$x^3 - 2ax^2 + a^2x - \frac{4}{27}a^3 = (x - \frac{1}{3}a)(x^2 - \frac{5}{3}ax + \frac{4}{9}a^2) = 0$

ここで、$x^2 - \frac{5}{3}ax + \frac{4}{9}a^2 = 0$ を解きます。

$x = \frac{\frac{5}{3}a \pm \sqrt{(\frac{5}{3}a)^2 - 4(\frac{4}{9}a^2)}}{2} = \frac{\frac{5}{3}a \pm \sqrt{\frac{25}{9}a^2 - \frac{16}{9}a^2}}{2} = \frac{\frac{5}{3}a \pm \sqrt{\frac{9}{9}a^2}}{2} = \frac{\frac{5}{3}a \pm a}{2}$

$x = \frac{\frac{5}{3}a + a}{2} = \frac{\frac{8}{3}a}{2} = \frac{4}{3}a$

$x = \frac{\frac{5}{3}a - a}{2} = \frac{\frac{2}{3}a}{2} = \frac{1}{3}a$

したがって、解は $x=\frac{1}{3}a$ と $x=\frac{4}{3}a$ です。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{3}a, \frac{1}{3}a, \frac{4}{3}a$

すなわち、

$x = \frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{4a}{3}$