$a^{\log_a M} = M$ を利用して、以下の式を計算する問題です。 (1) $2^{\log_2 32}$ (2) $9^{\log_3 4}$ (3) $16^{\log_2 \sqrt{0.1}}$ (4) $0.01^{\log_{10} 5}$ (5) $2^{\log_{0.5} 5}$

1. 問題の内容

$a^{\log_a M} = M$ を利用して、以下の式を計算する問題です。

(1) $2^{\log_2 32}$

(2) $9^{\log_3 4}$

(3) $16^{\log_2 \sqrt{0.1}}$

(4) $0.01^{\log_{10} 5}$

(5) $2^{\log_{0.5} 5}$

2. 解き方の手順

(1) $2^{\log_2 32}$

$2^{\log_2 32} = 32$

これは、$a^{\log_a M} = M$ の公式をそのまま利用したものです。

(2) $9^{\log_3 4}$

$9 = 3^2$ であるから、

$9^{\log_3 4} = (3^2)^{\log_3 4} = 3^{2\log_3 4} = 3^{\log_3 4^2} = 3^{\log_3 16} = 16$

(3) $16^{\log_2 \sqrt{0.1}}$

$16 = 2^4$ であるから、

$16^{\log_2 \sqrt{0.1}} = (2^4)^{\log_2 \sqrt{0.1}} = 2^{4\log_2 \sqrt{0.1}} = 2^{\log_2 (\sqrt{0.1})^4} = 2^{\log_2 (0.1)^2} = 2^{\log_2 0.01} = 0.01$

(4) $0.01^{\log_{10} 5}$

$0.01 = 10^{-2}$ であるから、

$0.01^{\log_{10} 5} = (10^{-2})^{\log_{10} 5} = 10^{-2\log_{10} 5} = 10^{\log_{10} 5^{-2}} = 10^{\log_{10} \frac{1}{25}} = \frac{1}{25} = 0.04$

(5) $2^{\log_{0.5} 5}$

底の変換公式を利用する。

$\log_{0.5} 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 0.5} = \frac{\log_2 5}{\log_2 (1/2)} = \frac{\log_2 5}{-1} = -\log_2 5$

$2^{\log_{0.5} 5} = 2^{-\log_2 5} = 2^{\log_2 5^{-1}} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2$

3. 最終的な答え

(1) $32$

(2) $16$

(3) $0.01$

(4) $0.04$

(5) $0.2$