以下の5つの対数の計算問題を解きます。 (1) $2\log_2 6 + \log_2 \frac{2}{9}$ (2) $4\log_2 \sqrt{5} - \log_2 50$ (3) $2\log_2 \frac{2}{3} - \log_2 \frac{8}{9}$ (4) $\log_2 \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{3}{2}\log_2 3 - \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$ (5) $\frac{1}{2}\log_3 \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\log_3 \sqrt[3]{12} + \log_3 \sqrt{8}$

はい、承知いたしました。数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の5つの対数の計算問題を解きます。

(1) $2\log_2 6 + \log_2 \frac{2}{9}$

(2) $4\log_2 \sqrt{5} - \log_2 50$

(3) $2\log_2 \frac{2}{3} - \log_2 \frac{8}{9}$

(4) $\log_2 \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{3}{2}\log_2 3 - \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

(5) $\frac{1}{2}\log_3 \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\log_3 \sqrt[3]{12} + \log_3 \sqrt{8}$

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して計算します。

主な性質は以下の通りです。

* $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$

* $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$

* $k\log_a x = \log_a (x^k)$

* $\log_a a = 1$

* $\log_a 1 = 0$

(1)

$2\log_2 6 + \log_2 \frac{2}{9} = \log_2 (6^2) + \log_2 \frac{2}{9} = \log_2 36 + \log_2 \frac{2}{9} = \log_2 (36 \cdot \frac{2}{9}) = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

(2)

$4\log_2 \sqrt{5} - \log_2 50 = \log_2 (\sqrt{5})^4 - \log_2 50 = \log_2 25 - \log_2 50 = \log_2 \frac{25}{50} = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 2^{-1} = -1$

(3)

$2\log_2 \frac{2}{3} - \log_2 \frac{8}{9} = \log_2 (\frac{2}{3})^2 - \log_2 \frac{8}{9} = \log_2 \frac{4}{9} - \log_2 \frac{8}{9} = \log_2 \frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{9}} = \log_2 \frac{4}{8} = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 2^{-1} = -1$

(4)

$\log_2 \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{3}{2}\log_2 3 - \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \log_2 \frac{\sqrt{2}}{3} + \log_2 3^{\frac{3}{2}} - \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \log_2 (\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}} \div \frac{\sqrt{3}}{2}) = \log_2 (\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}) = \log_2 (2\sqrt{2} ) = \log_2 (2^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}$

(5)

$\frac{1}{2}\log_3 \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\log_3 \sqrt[3]{12} + \log_3 \sqrt{8} = \log_3 (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} - \log_3 (\sqrt[3]{12})^{\frac{3}{2}} + \log_3 \sqrt{8} = \log_3 \frac{1}{\sqrt{2}} - \log_3 (12)^{\frac{1}{2}} + \log_3 2\sqrt{2} = \log_3 \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{2}}{\sqrt{12}} = \log_3 \frac{2}{\sqrt{12}} = \log_3 \frac{2}{2\sqrt{3}} = \log_3 \frac{1}{\sqrt{3}} = \log_3 3^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) -1

(3) -1

(4) $\frac{3}{2}$

(5) $-\frac{1}{2}$